a;b;c là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c\ge3.CMR:\frac{a^3-a^2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{b^3-b^2}{\left(b+c\right)^2}+\frac{c^3-c^2}{\left(c+a\right)^2}\ge0\)
Tìm các số thực dương a, b, c thỏa mãn \(c\ge0\)
CMR: \(\left(\frac{a}{a+b}\right)^2+\left(\frac{b}{b+c}\right)^2+4\left(\frac{c}{c+a}\right)^2\ge\frac{3}{2}\)
Đề lạ đời, sao lại tìm các số thực dương a,b,c, đáng lẽ phải là cho các số thực dương a,b,c chứ. Mà đã thực dương rồi sao \(c\ge0\)(c = 0 đâu có nghĩa là c dương)
Mình nghĩ đề đúng phải là: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn \(c\ge a\)(vì sau khi suy nghĩ và viết lại BĐT thì khi ta nhân hai phân số \(\frac{b}{a}.\frac{c}{b}=\frac{c}{a}\ge1\), cũng có thể đấy chứ) . CMR:...
Bất đẳng thức đã cho tương đương với \(\frac{1}{\left(1+\frac{b}{a}\right)^2}+\frac{1}{\left(1+\frac{c}{b}\right)^2}+\frac{4}{\left(1+\frac{a}{c}\right)^2}\ge\frac{3}{2}\)
Đặt \(\frac{b}{a}=x,\frac{c}{b}=y\left(x,y>0\right)\). Khi đó \(\frac{a}{c}=\frac{1}{xy}\). Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành \(\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{\left(1+y\right)^2}+\frac{4x^2y^2}{\left(1+xy\right)^2}\ge\frac{3}{2}\)
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức \(\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{\left(1+y\right)^2}\ge\frac{1}{xy+1}\)(*) với x, y là các số dương
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(1-xy\right)^2+xy\left(x-y\right)^2\ge0\)*đúng*
Ta quy bài toán về chứng minh \(\frac{1}{xy+1}+\frac{4x^2y^2}{\left(1+xy\right)^2}\ge\frac{3}{2}\)
Đặt \(P=\frac{1}{xy+1}+\frac{4x^2y^2}{\left(1+xy\right)^2}\). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:\(\frac{4x^2y^2}{\left(1+xy\right)^2}+1\ge\frac{4xy}{1+xy}\)
Khi đó \(P=\frac{1}{xy+1}+\frac{4x^2y^2}{\left(1+xy\right)^2}+1-1\ge\frac{1}{xy+1}+\frac{4xy}{1+xy}-1\)\(=\frac{3xy}{1+xy}=\frac{3}{\frac{1}{xy}+1}\)(1)
Từ giả thiết \(c\ge a\)suy ra \(\frac{a}{c}\le1\)hay \(\frac{1}{xy}\le1\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{3}{\frac{1}{xy}+1}\ge\frac{3}{1+1}=\frac{3}{2}\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Đọc tài liệu thầy Công Lợi rồi đào lên gáy làm gì thế em :)
By AM - GM inequalities we have:
\(\left(\frac{a}{a+b}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{a}{a+b}\)
\(\left(\frac{b}{b+c}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{b}{b+c}\)
\(\left(\frac{c}{c+a}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{c}{c+a}\)
So now:
\(LHS\ge\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{4c}{c+a}=\frac{1}{1+\frac{b}{a}}+\frac{1}{1+\frac{c}{b}}+\frac{4}{1+\frac{a}{c}}\)
Lemma:\(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}};xy\ge1\)
Then:\(LHS\ge\frac{2}{1+\sqrt{\frac{b}{a}\cdot\frac{c}{b}}}+\frac{4}{1+\frac{a}{c}}=\frac{2}{1+\sqrt{\frac{c}{a}}}+\frac{4}{1+\frac{a}{c}}\)
We need prove that:
\(\frac{2}{1+\sqrt{\frac{c}{a}}}+\frac{4}{1+\frac{a}{c}}\ge3\)
Biến đổi tương đương là ra
cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3.CMR:\(\frac{a}{1+\left(b+c\right)^2}+\frac{b}{1+\left(c+a\right)^2}+\frac{c}{1+\left(a+b\right)^2}\le\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2+12abc}\)
bài này mà giải theo SOS là hơi bị tuyệt vời nhé =)))
cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=\frac{1}{3}\)CMR:\(\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^3}{8ab\left(4a+4b+c\right)}}+\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^3}{8bc\left(4b+4c+a\right)}}+\sqrt{\frac{\left(c+a\right)^3}{8ca\left(4c+4a+b\right)}}\ge a+b+c\)
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab+bc+ca=1.
CMR: \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge3+\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a^2}}+\sqrt{\frac{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}{b^2}}+\sqrt{\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{c^2}}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\)
CMR: \(\frac{a^5+b^5}{ab\left(a+b\right)}+\frac{b^5+c^5}{bc\left(b+c\right)}+\frac{c^5+a^5}{ca\left(c+a\right)}\ge3\left(ab+bc+ca\right)-2\)
Chứng minh BĐT Phụ: \(a^5+b^5\ge a^4b+ab^4\)với \(a;b>0\)
\(\Rightarrow\frac{a^5+b^5}{ab\left(a+b\right)}\ge\frac{a^4b+ab^4}{ab\left(a+b\right)}=\frac{ab\left(a^3+b^3\right)}{ab\left(a+b\right)}=\frac{ab\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{ab\left(a+b\right)}=a^2-ab+b^2\)
Áp dụng ta có: \(VT\)(VẾ TRÁI)\(\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)\) \(\left(1\right)\)
Xét: \(\left[2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)\right]-\left[3\left(ab+bc+ca\right)-2\right]\)
\(=2\left(a^2+b^2+c^2\right)-4\left(ab+bc+ca\right)+2\)
\(=4\left(a^2+b^2+c^2\right)-4\left(ab+bc+ca\right)\) (Do a2+b2+c2=1) \(\left(2\right)\)
Mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) Tự chứng minh \(\left(3\right)\)
Từ (1);(2) và (3) suy ra \(VT\ge3\left(ab+bc+ca\right)-2\)
Vậy \(\frac{a^5+b^5}{ab\left(a+b\right)}+\frac{b^5+c^5}{bc\left(b+c\right)}+\frac{c^5+a^5}{ca\left(c+a\right)}\ge3\left(ab+bc+ca\right)-2\)
*sử dụng nguyên lí Dirichlet nha:]*
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng :
\(\frac{a+3}{\left(a+1\right)^2}+\frac{b+3}{\left(b+1\right)^2}+\frac{c+3}{\left(c+1\right)^2}\ge3\)
Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn a3+b3+c3=1
CMR\(\frac{a^2+b^2}{ab\left(a+b\right)^3}+\frac{b^2+c^2}{bc\left(b+c\right)^3}+\frac{c^2+a^2}{ca\left(c+a\right)^3}\ge\frac{9}{4}\)
\(sigma\frac{a^2+b^2}{ab\left(a+b\right)^3}\ge sigma\frac{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}{\left(a+b\right)^2\left(a^3+b^3\right)}=sigma\frac{1}{2\left(a^3+b^3\right)}\ge\frac{9}{4\left(a^3+b^3+c^3\right)}=\frac{9}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)
Cho 3 số thực dương a;b;c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2+\left(a+b+c\right)^2\le4\)
Chứng minh rằng : \(A=\frac{ab+1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{bc+1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{ac+1}{\left(a+c\right)^2}\ge3\)
Từ giả thiết của bài toán, ta biến đổi như sau:
\(a^2+b^2+c^2+\left(a+b+c\right)^2\le4\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc\le2\)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
\(A=\frac{ab+1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{bc+1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{ac+1}{\left(a+c\right)^2}\ge3\)
\(\Leftrightarrow\frac{2ab+2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2bc+2}{\left(b+c\right)^2}+\frac{2ac+2}{\left(a+c\right)^2}\ge6\)
Áp dụng giả thiết ta được
\(\frac{2ab+2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2ab+2}{\left(b+c\right)^2}+\frac{2ac+2}{\left(a+c\right)^2}\ge\text{∑}\frac{2ab+a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}{\left(a+b\right)^2}\)
\(=1+\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{\left(a+b\right)^2}+1+\frac{\left(b+a\right)\left(c+b\right)}{\left(a+c^2\right)}+1+\frac{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}{\left(c+b\right)^2}\)
\(=3+\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\left(b+a\right)\left(c+b\right)}{\left(a+c\right)^2}+\frac{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}{\left(c+b\right)^2}\ge\)
\(3+\sqrt[3]{\frac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)\left(b+a\right)\left(c+b\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}{\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2}}=3+3=6\)
Vậy bài toán đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=13√.■
Cho \(a,b,c\) là các số dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2+\left(a+b+c\right)^2\le4.\)
CMR \(\frac{ab+1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{bc+1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{ca+1}{\left(c+a\right)^2}\ge3\)